شناسایی ضرایب سختی و میرایی تکیهگاه تیر طرهای
 
 
استاد راهنما:
دکتر محمد رحیم همتیان
 
 
بهمن 1392
 

(در فایل دانلودی نام نویسنده موجود است)

تکه هایی از متن پایان نامه به عنوان نمونه :

(ممکن است هنگام انتقال از فایل اصلی به داخل سایت بعضی متون به هم بریزد یا بعضی نمادها و اشکال درج نشود ولی در فایل دانلودی همه چیز مرتب و کامل است)

چکیده

تکیه‌گاه‌ها و اتصالات نقش اساسی و مهمی را در سازه‌های مهندسی ایفا می‌کنند. شناسایی پارامترهای مختلف تکیه‌گاهی ضروری میباشد. پارامترهای سفتی و میرایی مهمترین پارامترهای یک تکیه‌گاه به شمار می‌روند. در این پایان‌نامه یک روش معکوس بر پایه داده‌های اندازهگیری دینامیکی کرنش و شتاب برای شناسایی و بررسی ضرایب سفتی و میرایی تکیه‌گاه های تیرهای طره‌ای و دو سر درگیر بکار برده شده است. به همین منظور، با بهره گرفتن از روش حداقل مربعات یک مسأله بهینهسازی تعریف شده است و سپس به حل آن پرداخته شده است. در تیر طرهای تأثیر پارامترهای مختلفی از قبیل مقدار خطای اندازهگیری، تعداد داده های اندازهگیری، نوع داده ها (کرنش یا شتاب)، حدس اولیه، محل نصب حسگر، تعدا حسگرها، بازه زمانی اعمال نیرو، مقادیر پارامترهای سفتی و میرایی، زمان دادهبرداری بر پاسخ تحلیل معکوس مورد بررسی قرار گرفتهاند. در تیر دو سر درگیر تنها به بررسی تأثیر مقدار خطای اندازهگیری، تعداد داده های اندازهگیری، نوع داده ها و تعداد حسگرها بر نتایج پرداخته شده است.

نتایج نشان میدهند که مسأله تیر دو سر درگیر بسیار مشکلتر از مسأله تیر یک سر درگیر است. استفاده از داده های شتاب در مسأله تیر طرهای منجر به نتایج بهتری میشود. با بررسی دقیق نتایج عددی بدست آمده، تلاش شده است تا به سؤالات و مشکلاتی که ممکن است در طول آزمون عملی رخ می دهد، پاسخ داده شود.

 

واژههای کلیدی: تحلیل معکوس، تکیهگاه تیر، ضریب سفتی، ضریب میرایی، داده های اندازهگیری دینامیکی

 

 

 

فهرست مطالب
 

عنوان
 
 
صفحه
1- فصل اول: مقدمه. 2

1-1- اهمیت موضوع. 2

1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن.. 5

2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین.. 8

2-1- مقدمه. 8

2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها 8

2-3-تاریخچه تحلیل معکوس…. 9

2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای.. 10

2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد. 11

2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب… 11

2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها 12

3- فصل سوم: مبانی تئوری.. 17

3-1- مقدمه. 17

3-2-روند کلی حل یک مسأله معکوس…. 18

3-2-1-تعریف مسأله. 20

3-2-2-ارائه مدل مستقیم.. 20

3-2-3-محاسبه حساسیت بین خروجی ها و پارامترها 20

3-2-4-طراحی آزمایش…. 21

3-2-5-کمینه کردن خطای اندازهگیری.. 21

3-2-6-بکارگیری فرمولبندی معکوس…. 21

3-2-7-بازبینی پاسخ.. 22

3-3-مفاهیم اساسی مسائل معکوس…. 22

3-4-فرمولبندی معکوس…. 28

3-5-انتخاب خروجی ها 30

3-6-هموارسازی برای مسائل بدنهاده 31

3-7- روش های بهینهسازی.. 33

3-7-1- روش های جستجوی مستقیم.. 36

3-7-2- روش های جستجو بر پایه گرادیان.. 37

3-7-3-روش غیرخطی حداقل مربعات… 37

3-7-4-روش های پیدا کردن ریشه. 38

3-7-5-الگوریتمهای ژنتیک…. 38

3-7-6-نکاتی در خصوص روش های بهینهسازی.. 39

4- فصل چهارم: نحوه انجام تحقیق.. .

4-1-مقدمه. .

4-2-تشریح مدل پیشنهادی.. .

4-3- فرمولبندی تحلیل معکوس…. .

4-3-1-محاسبه ماتریس حساسیت… .

4-3-2-شبیهسازی داده های اندازهگیری.. .

4-3-3-انجام محاسبات در نرم افزار .

4-5- بررسی تأثیر پارامترهای مختلف بر پاسخ زمانمند تیرطرهای.. .

4-5-1-بررسی تأثیر بازه اعمال نیرو بر پاسخ تیر طرهای.. .

4-5-2-بررسی تأثیر ضریب سفتی بر پاسخ تیر طرهای.. .

4-5-3-بررسی تأثیر ضریب میرایی بر پاسخ تیر طرهای.. .

5- فصل پنجم: مثالهای عددی.. .

5-1-مقدمه. .

5-2-بررسی تیر یک سر درگیر (تیر طرهای) .

5-2-1-بررسی تأثیر خطای اندازهگیری بر پاسخ معکوس در تیر طرهای.. .

5-2-2-بررسی روند همگرایی پاسخ معکوس در تیر طرهای.. .

5-2-3-بررسی تأثیر محل قرارگیری حسگر بر پاسخ معکوس در تیر طرهای.. .

5-2-4-بررسی تأثیر تعداد داده های اندازهگیری بر پاسخ معکوس در تیر طرهای.. .

5-2-5-بررسی تأثیر تعداد حسگر بر پاسخ معکوس در تیر طرهای.. .

5-2-6-بررسی تأثیر مقدار حدس اولیه بر پاسخ معکوس در تیر طرهای.. .

5-2-7-بررسی تأثیر زمان اعمال نیرو بر پاسخ معکوس در تیر طرهای.. .

5-2-8-بررسی تأثیر اختلاف زمانی بر پاسخ تیر طرهای.. .

5-2-9-بررسی تأثیر زمان دادهبرداری بر پاسخ معکوس در تیر طرهای بدون در نظر گرفتن اختلاف زمانی  .

5-2-10-بررسی تأثیر زمان دادهبرداری بر پاسخ معکوس در تیر طرهای با در نظر گرفتن اختلاف زمانی  .

 

5-2-11-بررسی تأثیر محل اعمال نیرو بر پاسخ معکوس در تیر طرهای.. .

5-2-12-بررسی تأثیر مقدار ضریب میرایی بر پاسخ معکوس در تیر طرهای.. .

5-2-13-بررسی تأثیر مقدار ضریب سفتی بر پاسخ معکوس در تیر طرهای.. .

5-3-بررسی تیر دو سر درگیر. .

5-3-1-بررسی تأثیر خطای اندازهگیری بر پاسخ معکوس در تیر دو سر درگیر. .

5-3-2-بررسی تأثیر تعداد داده های اندازهگیری بر پاسخ معکوس در تیر دو سر درگیر. .

5-3-3-بررسی تأثیر تعداد حسگرها بر پاسخ معکوس در تیر دو سر درگیر. .

6- فصل ششم: نتیجه گیری و پیشنهادات… .

6-1-مقدمه. .

6-2-نتیجهگیری.. .

6-3-پیشنهادات… .

مراجع و منابع.. 42

فهرست شکل‌ها
 

 

عنوان
 
صفحه
شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای ……………………………………………………………………………
4
شکل (3-1): روند کلی حل یک مسأله معکوس ……………………………………………………………………..
19
شکل (3-2): میله مستقیم با سطح مقطعهای متفاوت، ساخته شده از دو ماده، تحت نیروهای  و  ………………………………………………………………………………………………………………………
23
شکل (3-3): میله مستقیم با سطح مقطع یکنواخت  تحت نیروی  …………………………………..
25
شکل (3-4): مقایسه بین جابجایی دقیق و اندازهگیری شده در یک میله مستقیم ………………..
26
شکل (3-5): مقایسه مقدار نیروی تخمین زده شده بر حسب مقدار واحد نیروی دقیق …………
27
شکل (4-1): تیر طرهای معادل شده ………………………………………………………………………………………
44
شکل (4-2): شماتیک تیر طرهای تحت نیروی زمانمند …………………………………………………………
50
شکل (4-3): نمودار نیرو بر حسب زمان …………………………………………………………………………………
50
شکل (4-4): سیستم جرم-فنر معادل با تیر طرهای ……………………………………………………………….
51
شکل (4-5): نمودار کرنش-زمان تیر طرهای با تکیهگاه ایدآل تحت اثر ضربه برای مقادیر مختلف  ……………………………………………………………………………………………………………………………….
53
شکل (4-6): سیستم جرم-فنر معادل شده برای تیر طرهای معادل شده ……………………………….
54
شکل (4-7): نمودار کرنش-زمان تیر طرهای تحت اثر ضربه برای مقادیر مختلف پارامتر بیبعد شده  …………………………………………………………………………………………………………………………
56
شکل (4-8): نمودار کرنش-زمان تیر طرهای تحت اثر ضربه برای مقادیر مختلف  ……………..
58
شکل (5-1): تیر طرهای معادل شده (تکرار شکل (4-1)) ……………………………………………………..
62
شکل (5-2): شماتیکی از نقطه دادهبرداری (نقطه ) و محل اعمال نیرو در تیر طرهای ……….
63
شکل (5-3): نمودار کرنش-زمان نقطه  از تیر معادل شده تحت اثر ضربه در انتهای تیر در تیر طرهای ………………………………………………………………………………………………………………………….
63
شکل (5-4): نمودار شتاب-زمان نقطه  از تیر معادل شده تحت اثر ضربه در انتهای تیر در تیر طرهای ……………………………………………………………………………………………………………………………….
64
شکل (5-5): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای خطاهای مختلف اندازهگیری با در نظر گرفتن داده های کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………
65
شکل (5-6): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای خطاهای مختلف اندازهگیری با در نظر گرفتن داده های شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای …………………………………………….
66
شکل (5-7): روند همگرایی پاسخ تحلیل معکوس با در نظر گرفتن داده های کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ………………………………………………………………………………………………..
67
شکل (5-8): روند همگرایی پاسخ تحلیل معکوس با در نظر گرفتن داده های شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ………………………………………………………………………………………………..
68
شکل (5-9): شماتیکی از نقاط قرارگیری حسگر در تیر طرهای ……………………………………………..
69
شکل (5-10): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مکانهای مختلف اندازهگیری با در نظر گرفتن داده های کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………
69
شکل (5-11): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مکانهای مختلف اندازهگیری با در نظر گرفتن داده های شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای …………………………………………….
70
شکل (5-12): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد داده های اندازهگیری و با در نظر گرفتن داده های کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………
71
شکل (5-13): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد داده های اندازهگیری و با در نظر گرفتن داده های شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای …………………………………………….
71
شکل (5-14): شماتیکی از نقاط دادهبرداری (نقاط  و ) در تیر طرهای ……………………………..
72
شکل (5-15): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد کرنشسنجها در تیر طرهای …………
73
شکل (5-16): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد شتابسنجها در تیر طرهای ………….
73
شکل (5-17): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف حدس اولیه و با در نظر گرفتن داده های کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………
74
شکل (5-18): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف حدس اولیه و با در نظر گرفتن داده های شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای …………………………………………….
75
شکل (5-19): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف زمان اعمال نیرو و با در نظر گرفتن داده های کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………..
76
شکل (5-20): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف زمان اعمال نیرو و با در نظر گرفتن داده های شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ………………………………………
77
شکل (5-21): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف  و با در نظر گرفتن داده های کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………………….
78
شکل (5-22): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف  و با در نظر گرفتن داده های شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ………………………………………………………..
78
شکل (5-23): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف  و با در نظر گرفتن داده های کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای، بدون در نظر گرفتن اختلاف زمانی
80
شکل (5-24): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف  و با در نظر گرفتن داده های شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای، بدون در نظر گرفتن اختلاف زمانی .
80
شکل (5-25): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف  و با در نظر گرفتن داده های کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای و با در نظر گرفتن اختلاف زمانی .
82
شکل (5-26): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف  و با در نظر گرفتن داده های شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای و با در نظر گرفتن اختلاف زمانی ..
82
شکل (5-27): شماتیکی از نقاط اعمال نیرو در تیر طرهای …………………………………………………….
83
شکل (5-28): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مکانهای مختلف اعمال نیرو با در نظر گرفتن داده های کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………
84
شکل (5-29): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مکانهای مختلف اعمال نیرو با در نظر گرفتن داده های شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای …………………………………………….
84
شکل (5-30): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف  با در نظر گرفتن داده های کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………………….
86
شکل (5-31): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف  با در نظر گرفتن داده های شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ………………………………………………………..
86
شکل (5-32): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف  با در نظر گرفتن داده های کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………………….
87
شکل (5-33): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف  با در نظر گرفتن داده های شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ………………………………………………………..
88
شکل (5-34): تیر دوسر درگیر معادل شده ……………………………………………………………………………
89
شکل (5-35): شماتیکی از نقطه دادهبرداری (نقطه ) و محل اعمال نیرو در تیر دو سر درگیر ………………………………………………………………………………………………………………………………………
90
شکل (5-36): نمودار کرنش-زمان نقطه  از تیر معادل شده تحت اثر ضربه در وسط تیر در تیر دو سر درگیر …………………………………………………………………………………………………………………
90
شکل (5-37): نمودار شتاب-زمان نقطه  از تیر معادل شده تحت اثر ضربه در وسط تیر در تیر دو سر درگیر …………………………………………………………………………………………………………………
91
شکل (5-38): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای خطاهای مختلف اندازهگیری با در نظر گرفتن داده های کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر دو سر درگیر …………………………………..
92
شکل (5-39): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای خطاهای مختلف اندازهگیری با در نظر گرفتن داده های شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر دو سر درگیر ……………………………………
92
شکل (5-40): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد داده های اندازهگیری و با در نظر گرفتن داده های کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر دو سر درگیر …………………………………..
94
شکل (5-41): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد داده های اندازهگیری و با در نظر گرفتن داده های شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر دو سر درگیر ……………………………………
95
شکل (5-42): شماتیکی از نقاط دادهبرداری (نقاط  و ) در تیر دو سر درگیر …………………..
96
شکل (5-43): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد کرنشسنجها در تیر دو سر درگیر
96
شکل (5-44): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد شتابسنجها در تیر دو سر درگیر
97
 
 
 
 
 

فهرست نشانه ­های اختصاری
 

 

 
مساحت سطح مقطع تیر
 
عرض تیر
 
ثابت انتگرالگیری
 
دمپر پیچشی خطی ویسکوز در تیر یک سر درگیر
 
دمپر پیچشی خطی ویسکوز تکیهگاه سمت چپ تیر دو سر درگیر
 
دمپر پیچشی خطی ویسکوز تکیهگاه سمت راست تیر دو سر درگیر
 
میرایی ساختاری تیر
 
دمپر خطی بیبعد شده تیر طرهای
 
دمپر پیچشی معادل
 
مدول الاستیسیته
 
درصد خطای ایجاد شده در پاسخ تحلیل معکوس تیر طرهای
 
درصد خطای ایجاد شده در پاسخ تحلیل معکوس تیر دو سر درگیر
 
سطح خطای اندازهگیری، تلورانس
 
مقدار بیشینه نیروی ضربه
 
نیروی اعمالی به تیر
 
قید نامساوی در فرمولبندی بهینهسازی
 
ضخامت تیر
 
قید مساوی در فرمولبندی بهینهسازی
 
گشتاور دوم سطح حول محور
 
فنر پیچشی خطی
 
فنر خطی بیبعد شده تیر طرهای
 
ضریب سفتی تیر طرهای
 
فنر پیچشی معادل
 
فنر خطی معادل تیر طرهای
 
فنر پیچشی تکیهگاه سمت چپ تیر دو سر درگیر
 
فنر پیچشی تکیهگاه سمت راست تیر دو سر درگیر
 
طول تیر
 
تعداد حسگرها
 
ممان خمشی حول محور
 
جرم معادل تیر طرهای
 
جرم تیر
 
تعداد داده های هر حسگر
 
تعداد کل داده های اندازهگیری
 
تعداد مجهولات تحلیل معکوس
 
بردار پارامتری
 
تعداد تکرارهای انجام شده
 
شماره تکرار
 
ماتریس حساسیت
 
جابجایی محوری تیر
 
دوره تناوب تیر طرهای
 
زمان دوره صعودی نیروی ضربه
 
زمان کل اعمال نیروی ضربه
 
زمان دادهبرداری داده های حسگر
 
نسبت زمان اعمال نیروی ضربه به دوره تناوب تیر
 
بردار خروجی تحلیل معکوس
 
محل نصب حسگر
 
مختصات دکارتی تیر
 
بردار ورودی تحلیل معکوس
 
خطای نسبی
 
پارامتر مشتقگیری
 
کرنش در جهت محور تیر
 
چگالی
 
نسبت پواسون
 
فرکانس تیر طرهای
 
فرکانس توزیع خطا
 
تابع هدف
 
نسبت اختلاف زمانی بین داده های نیرو و کرنش (شتاب)
مقدمه
 

 

1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی[1] همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی[2] حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.

یکی از این اجزاء، تکیهگاه ها[3] هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاه ها را میتوان به دسته های تکیهگاه مفصلی ثابت[4]، تکیهگاه مفصلی متحرک[5] (غلطکی)، تکیهگاه گیردار[6] (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی[7] و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاه های مذکور دارای تعداد درجه آزادی[8] مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاه های مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاه ها هستند و ممکن است این تکیهگاه ها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاه ها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاه های مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.

ازجمله سازه های پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر[9] (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ[10] ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.

تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.

 
 
 
شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1]
واضح است که تکیهگاه ها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری[11] آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری[12] هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز